B.3. 条件期望的计算

本节中, 我们给出 (X,Y) 为离散型或连续型随机向量时, 条件期望 E[h(X,Y)∣Y] 的计算方法, 也就是条件期望的 law of the unconscious statistician (LOTUS).

定理 B.3.1. 设 X,Y 为两个随机变量, 二元函数 h:R2→R 使得 E[h(X,Y)] 存在, 且对任意 y∈R, E[h(X,y)] 均存在.

1.

若 (X,Y) 为离散型随机向量, 令ϕX​(y)=⎩⎨⎧​x∑​h(x,y)⋅pY​(y)pX,Y​(x,y)​,E[h(X,y)],​若 pY​(y)>0,若 pY​(y)=0.​(B.3.1)则 E[X∣Y]=ϕX​(Y).

2.

若 (X,Y) 为连续型随机向量, 令ϕX​(y)=⎩⎨⎧​∫−∞+∞​h(x,y)⋅fY​(y)fX,Y​(x,y)​dx,E[h(X,y)],​若 fY​(y)>0,若 fY​(y)=0.​(B.3.2)则 E[X∣Y]=ϕX​(Y).

证明. 证明的基本思路就是验证式 (B.3.1) 或 (B.3.2) 给出的 ϕX​(Y) 是否满足条件期望的定义式 (B.1.1).

1.

当 (X,Y) 为离散型随机向量时, 任取有界函数 g:R→R, 则有E[ϕX​(Y)⋅g(Y)]====​y∑​ϕX​(y)g(y)pY​(y)y∑​(x∑​h(x,y)⋅pY​(y)pX,Y​(x,y)​)g(y)pY​(y)(x,y)∑​h(x,y)g(y)pX,Y​(x,y)E[h(X,Y)⋅g(Y)],​其中第一步与最后一步来自于期望的 LOTUS, 第三步是因为 pY​(y)=0 时必定有 pX,Y​(x,y)=0. 故式 (B.1.1) 对任意有界函数 g 均成立.

2.

当 (X,Y) 为连续型随机向量时, 记集合 U={y∈R∣fY​(y)=0}, 任取有界函数 g:R→R, 则有E[ϕX​(Y)⋅g(Y)]​=∫−∞+∞​ϕX​(y)g(y)fY​(y)dy=∫R\U​(∫−∞+∞​h(x,y)⋅fY​(y)fX,Y​(x,y)​dx)g(y)fY​(y)dy=∬R2​h(x,y)g(y)fX,Y​(x,y)dxdy=E[h(X,Y)⋅g(Y)],​其中第一步与最后一步来自于期望的 LOTUS, 第三步将累次积分化为了重积分并利用了 fX,Y​(x,y)=0,∀(x,y)∈R×U. 故式 (B.1.1) 对任意有界函数 g 均成立.□

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