第 2 节 万有引力定律 教学建议
1．教学目标
（1）知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和适用范围。
（2）理解万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现过程中大胆猜想与严格求证的重要性。
（3）知道万有引力定律的发现使地球上的重物下落与天体运动完成了人类认识上的统一。
（4）会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。知道万有引力定律公式中 r 的物理意义，了解引力常量 G 的测定在科学史上的重大意义。
2．教材分析与教学建议
从行星运动规律到万有引力定律的建立过程，是本章的重要内容，是极好的科学探究素材。教材将“太阳与行星间的引力”与“万有引力定律”合编为一节，包括问题的提出、演绎、假设与推理、结论的得出、检验论证等，是一个比较完整的探究过程。需要指出的是，万有引力定律虽然是本章的重点知识，但万有引力定律的理解并不困难。从培养学生科学思维、科学探究素养的角度，让学生经历万有引力定律的推导过程是最有价值的。教师要避免自己边讲边推导的教学方式，而要通过问题引导，激励学生根据已有的知识经历推理的过程。
历史上牛顿是在椭圆轨道情形中导出了万有引力定律，但考虑学生的知识基础不够，在中学阶段只能将椭圆轨道近似为圆形轨道才能导出万有引力定律。在万有引力定律的推导过程中，要让学生明白，万有引力定律的得出虽然需要演绎推理，但并不是依靠已有规律加上演绎推理就能够得到的，其中需要“大胆的假设”。如从相互作用的角度，太阳与行星的地位是相同的（从运动的角度地位并不相同），太阳对行星的引力与行星对太阳的引力应具有相似的关系式，这体现了牛顿的科学智慧。牛顿是一位对概念、规律的普遍意义极其敏感的大科学家，从研究太阳与行星之间的引力，想到天上与地上引力的统一，再到万有引力，他一直不满足于一个具体规律的发现，而是在探寻自然界的和谐与统一。
（1）太阳对行星的引力
教学片段
关于行星运动原因的探究
从学生已有的知识结构来看，学生在学习万有引力定律之前，应该对力、质量、速度、加速度、向心力、向心加速度等概念有较好的理解，并且掌握自由落体、抛体和匀速圆周运动的运动学规律，能熟练运用牛顿运动定律解决动力学问题。针对上节课结束时探究的问题，学生通过查询，并了解众多科学家对行星运动原因的推测过程，可以从动力学的角度提出行星运动的原因，教师可以再进一步提出下列问题。
问题 1．阻碍科学家获得正确认识的原因主要是什么？
问题 2．牛顿是怎么认识的？他获得成功的原因是什么？
为了使探究有深度，对于基础比较好的学生，教师可以对学生的分析、推理过程进行追问，如“当时并没有认识到运动和力的关系，你怎么办？”“当时还没有牛顿第一定律和惯性概念，你怎么办？”让学生回到科学家当时面临的情况进行思考与探究。
教学片段
引力方向和大小的探究
历史上真实的万有引力定律的推导过程是高中生很难理解的。从学生发展核心素养的角度，应该让学生经历必要的推导过程，获得思维素养的提升。为此，可参考下面的问题设计，以激发学生的深度思维。
问题 1．若行星绕太阳的运动可看作是匀速圆周运动，太阳与行星间引力的方向是什么方向？为什么？
问题 2．引力大小与什么因素有关？表达式又是怎样的呢？
（因天文观测难以直接得到行星运动的速度 v，可以测得行星公转的周期 T，可得到 F = m\(\frac{{4{\pi ^2}r}}{{{T^2}}}\)）
问题 3．如果我们要通过天文观测验证上述公式，该怎么办呢？
问题 4．力与距离成正比吗？相距越远的物体受到的力可能越大吗？
问题 5．在我们学过的知识中，有描述轨道半径 r 与周期 T 之间关系的公式吗？
问题 6．太阳对行星的作用力只跟行星质量有关吗？还能从什么角度帮助我们向前更进一步？
问题 7．牛顿第三定律能否够帮助我们得到 Fʹ ∝ \(\frac{{{m_太}}}{{{r^2}}}\)？
问题 8．想到 Fʹ ∝ \(\frac{{{m_太}}}{{{r^2}}}\) 的原因是什么？这是推理还是创新？
问题 9．根据 F ∝ \(\frac{m}{{{r^2}}}\)、Fʹ ∝ \(\frac{{{m_太}}}{{{r^2}}}\) 和 F = Fʹ，你能归纳出什么？
在上述推导过程中，我们大多时候是在圆周运动公式、牛顿运动定律和开普勒行星运动定律的基础上进行推理，但仅仅靠推理是得不到万有引力定律的。要得到这一规律，还需要大胆的假设——太阳对行星的作用与行星对太阳的作用“地位”是平等的，规律应有相似性。物理学上许多重大突破，不是简单的逻辑推理或实验结果的总结，它需要深刻的洞察力，而这种深刻的洞察力常常也是艰辛探索过程的结果。
教学片段
月—地检验
考虑到直接证明“月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力”有一定难度，可采用“分步走”的策略，“假设地球对月球的作用力与太阳对行星的作用力是同一种力”“假设地球对苹果的力也是同一种力”。对分析推理过程，教师可以采用问题启发与讲解结合的方法。可参考下面的问题设计。
问题 1．假谈地球对月球的作用力与太阳对行星的作用力是同一种力，其表达式是怎样的？
问题 2．月球在这个力的作用下做什么运动？其向心加速度的表达式是怎样的？
问题 3．假设地球对地面上的苹果的力也是同一种力，其表达式是怎样的？
问题 4．苹果在这个力的作用下做什么运动？其加速度的表达式是怎样的？
问题 5．这两个加速度之比是多少？
问题 6．已知月球与地球之间的距离 r = 3.8×108 m，月球公转周期 T = 27.3 d，重力加速度 g = 9.8 m/s2，\(\frac{{{a_月}}}{g}\) 是多少？它与理论推导值相等吗？
用数据说明上述设想的正确性，牛顿的大胆设想经受了事实的检验。至此，平方反比律已经扩展到太阳与行星、地球与月球、地球与地面物体之间。
上述想法有一定的观察事实作为依据，也有一定的假设和猜想，这些想法的正确性要由事实来检验。在牛顿的时代，自由落体加速度已经能够比较精确地测定，当时也能比较精确地测定月球与地球的距离、月球公转的周期，从而能够算出月球运动的向心加速度，进行“月—地检验”。
（2）万有引力定律
万有引力定律的发现，是 17 世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来，对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响。它第一次解释了一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。
万有引力定律的发现对文化发展也有重大意义：使人们建立了有能力理解天地间的各种事物的信心，解放了人们的思想，在科学文化的发展史上起了积极的推动作用。
（3）引力常量
牛顿在推出万有引力定律时，没能得出引力常量 G 的具体值。G 的数值于 1789 年由卡文迪什利用他所发明的扭秤得出。卡文迪什的扭秤实验，不仅是对万有引力定律的最直接验证，同时也让此定律有了更广泛的使用价值。这一实验曾被美国《物理世界》杂志评为“十大经典实验”。这一实验为万有引力定律的普遍意义奠定了强有力的基础。物理学史上每一个物理常量的发现都代表着一段重要的科学历史，应向学生说明引力常量 G 测出的重要意义，即如果没有测出 G 的数值，万有引力定律的应用将受到限制。正是由于卡文迪什通过巧妙的实验设计测出了引力常量 G，才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用。教学中应注意引导学生了解和体会前人是如何巧妙地将物体间非常微小的力显现和测量出来的，同时注意向学生说明灵活运用所学知识的重要意义。
关于引力常量的测量，教师可用课件向学生展示和介绍，使学生学习和体会其中精巧的实验方法，如采用“光杠杆”原理使微小物理量放大的方法等。
3．“练习与应用”参考答案与提示
本节配置了 4 道习题。前 2 道题分别从身边物体之间的万有引力，再到星系之间的万有引力，说明引力在不同质量尺度的物体上，表现的影响是不同的，厘清主次，形成数量级的概念。第 3 题通过直接应用万有引力定律进行计算，感知与我们朝夕相处的太阳和月球对地球的引力。第 4 题通过计算木卫二的周期，学会分析卫星的运动周期与哪些因素有关。
1．假设两个人的质量都为 60 kg，相距 1 m，则它们之间的万有引力大约为 F = G\(\frac{{{m^2}}}{{{r^2}}}\) = 6.67×10−11×\(\frac{{{{60}^2}}}{{{1^2}}}\) ≈ 2.4×10−7 N。
这样小的力我们是无法察觉的，所以我们在分析物体受力时通常不需要考虑物体间的万有引力。
提示：上面的计算是一种估算。通过练习，让学生体会到地球上物体之间的万有引力很小。两个人相距 1 m 时不能把人看成质点，简单套用万有引力公式。
2．1.19×1028 N
提示：根据万有引力定律有 F = G\(\frac{{{m_大}{m_小}}}{{{r^2}}}\) = 6.67×10−11×\(\frac{{2 \times {{10}^{40}} \times 2 \times {{10}^{39}}}}{{{{(5 \times {{10}^4} \times 365 \times 24 \times 3600 \times 3.0 \times {{10}^8})}^2}}}\) N = 1.19×1028 N。
可见天体之间的万有引力是很大的。
3．设太阳、月球、地球的质量分别是 m太阳、m月球、m地球，太阳和月球到地球的距离分别为 r1 和 r2。由万有引力定律可知太阳对地球的引力为 F1 = G \(\frac{{{m_{太阳}}{m_{地球}}}}{{r_1^2}}\)，月球对地球的引力为 F2 = G \(\frac{{{m_{月球}}{m_{地球}}}}{{r_2^2}}\)，所以 \(\frac{{{F_1}}}{{{F_2}}}\) = \(\frac{{{m_{太阳}}r_2^2}}{{{m_{月球}}r_1^2}}\) = \(\frac{{2.7 \times {{10}^7}}}{{{{(3.9 \times {{10}^2})}^2}}}\) ≈ 178。
提示：天体间的引力不可忽略，月地距离虽然比日地距离近，但太阳的质量比月球大，太阳对地球的引力远大于月球对地球的引力，所以地球“携带”月球绕太阳运转。但月球对地球的引力也在地球上产生了种种影响，比如潮汐等。
4．木卫二绕木星做匀速圆周运动，设木星的质量为 m木，木卫二绕木星做匀速圆周运动的轨道半径为 r，木卫二绕木星运动的周期为 T，木卫二的质量为 m。木星对木卫二的万有引力提供向心力，依据牛顿第二定律有 \(\frac{{G{m_木}m}}{{{r^2}}}\) = m（\(\frac{{2\pi }}{T}\)）2r，所以 T = 2π\(\sqrt {\frac{{{r^3}}}{{G{m_木}}}} \)。将 r = 6.7×108 m、m木 = 1.9×1027 kg、引力常数 G = 6.67×10−11 N·m2/kg2 代入得 T = 3.06×105 s，约为 85 h。